Seguindo a opinião de M. Chasles, consideramos que a geometria moderna surge em meados do séc XV. Uma das suas características é a procura de leis gerais, a partir das quais de deduzam casos particulares. Os antigos descobriam uma propriedade num dado caso particular, mas não dispunham de meios para a sua generalização; cada novo caso particular era novo assunto, que só encontrava recursos nas propriedades das figuras que abordava: não estabeleciam ligações nem encontravam eixos comuns, as figuras eram estudadas individualmente.

A geometria moderna passou a estudar os métodos pela sua fecundidade, pela sua capacidade de alargamento; métodos só aplicáveIs a situações particulares deixaram de interessar.

Viéte (1540-95), após completar o método analítico de Platão, inventou a álgebra e a representação geométrica de seus resultados, preparando o caminho a Déscartes. Resolveu o problema da circunferência tangente a outras três dadas.

A história do nascimento da álgebra é curiosa: Cerca de 400 dC, Diofane de Alexandria começou a utilizar símbolos no cálculo, conseguindo que as expressões matemáicas, até então escritas por palavras, pudessem ser escritas abreviadamente. Dada a instabilidade da época, com o fim do Império Romano, os seus estudos só tiveram oportunidade de desenvolvimento a partir de c.800, no reinado do Califa Harun al-raschid ( o das Mil e Uma Noites) e de seu filho al-Mamum, que criou em Bagdad um centro de ensino, contratando os sábios da altura, entre eles al-Khowarizmi, que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração, referindo a mudança de termos de uma equação de um lado para o outro, e que provavelmente originou a palavra álgebra. No entanto, as equações ainda não eram representadas totalmente por símbolos.

O trabalho de Viéte, um advogado francês, surge quando Espanha e França estavam em guerra. Ambas as partes utilizavam códigos para enviar as suas mensagens, mas os dos espanhóis começaram a ser decifrados por Viéte, assim nascendo a álgebra, uma linguagem simbólica aperfeiçoada pelos matemáticos ingleses Robert Record (que criou o símbolo =) e Thomas Harriot, até ser sistematizada por Descartes.

Introduziu o conceito de transformação de um triângulo esférico no seu recíproco, formado pelas circunferências máximas do outro lado da esfera, descobrindo que ângulos e lados se correspondiam de determinada maneira. Foi o primeiro passo para a teoria de dualidade.

Desenhos de Harmonice Mundi, 1619

Kepler (1571-1630), em Nova stereometria doliorum..., 1615, baseado em Arquimedes, introduz o uso do infinito, utilizando os indivisíveis, posteriormente desenvolvidos por Cavallieri.

Recupera o estudo dos sólidos platónicos e define o primeiro poliedro regular convexo - o dodecaedro estrelado, sinalizado na figura. O desenho mais antigo deste poliedro está num mosaico de Ucello. Também recupera o estudo dos sólidos arquimedianos

Os seus estudos de óptica levam-no a estudar o mecanismo da câmara escura e do olho.

Aplica projecções para determinar graficamente eclipses do Sol para diferentes pontos da Terra, antecedendo assim a geometria descritiva em 200 anos;o seu método foi generalizado numa memória de Lagrange (1736-1813), 20 anos antes de Monge.

Descobriu que a trajectória dos planetas é elíptica.

Em 1522, Verner de Nuremberga tentou demonstrar as propriedades das cónicas através da circunferência.

Em !600, Guidobaldo del Monte (1545-1607), em Prospectiva, Pisa, introduz o punctus concursus (ponto de fuga) de rectas paralelas em projecção cónica.

Descartes (1596-1650) cria a geometria analítica ou cartesiana; a aplicação da álgebra e a introdução das coordenadas, fornece uma capacidade de abstracção e generalização que revolucionou toda a matemártica. Foi um culminar da linha de Pitágoras.

É Roberbal (1602-1675) a introduzir o movimento como princípio geral, para gerar todas as curvas e estudar as suas propriedades; antes dele, só se via movimento na geração de algumas curvas particulares. Uma tangente a uma curva era anteriormente lida como uma recta com um único ponto comum à curva; com Roberbal, passou a ter dois pontos comuns A e B, consecutivos e infinitamente próximos; ou vista como o limite do movimento de uma secante AB, em torno de um ponto A fixo: conforme a secante roda, o ponto B vai-se aproximando de A, até que ambos se tornam um só. Prolongando o elemento rectilíneo [AB] da curva, temos uma tangente à curva.

As distãncias, até então lidas como fixas, passaram a ser olhadas como geradas pelo movimento: o comprimento de [AB] é determinado pelo movimento de A até B, ou vice versa, ou pelos movimentos de A e B, até que distem [AB].

Roberbal expôs o seu método geral do seguinte modo:

examinem os diversos movimentos que o ponto gerador da curva faz, até ao momento em que lhe querem tirar uma tangente; tirem a linha da direcção do movimento composto e terão a tangente procurada.

A analogia com as fluxões de Newton é admirável.

As diferentes resoluções gerais do problemadas tangentes a uma curva de Roberbal, Descartes e Fermat, foram o prelúdio necessário à descoberta do cálculo diferencial por Monge.